2) Comme l'a prouvé Zénon il y a fort longtemps, tout mouvement est impossible. Achille ne peut pas rattraper la tortue, même s'il court beaucoup plus vite. Car au moment même où Achille arrive au point d'où la tortue est partie, la tortue a déjà avancé, même un peu. Et ainsi de suite... à l'infini. Une variante est qu'avant d'arriver au bout du chemin, il faut en avoir parcouru la moitié, et ensuite la moitié de la moitié etc et ...
L'absurdité de ce raisonnement impossible à contrecarrer sans introduire d'autres notions que le mouvement montre bien que l'infini a une raison d'être. Pour en connaître plus sur Achille et la tortue, lisez ce livre culte dont ils sont les héros : Gödel, Escher et Bach - Douglas Hofstadter. Parmi les perles de ce livre, notons la loi (récursive à l'infini) de Hofstadter : En informatique, tout prend toujours plus de temps que prévu, même en prenant en compte cette loi ! Que tous ceux qui ont eu à faire à des informaticiens apprécient cette loi à sa juste valeur.
3) Ainsi de suite, etc, ... sont autant de notations pour indiquer une limite inconnue, peut-être infinie, en tous cas trop grande pour l'imaginer sans se fatiguer. Le langage est infini d'une manière particulière. Les signes utilisés sont en nombre fini, en gros on les trouve sur un clavier d'ordinateur ou dans un casier d'imprimeur, les règles aussi sont en nombre fini, ainsi que leurs exceptions. Mais le nombre de livres qu'on peut écrire est infini, si on ne s'occupe pas de la taille du livre. Il faut évidemment lire le livre de sable de J-L. Borges avec son livre infini et sa bibliothèque infinie.
4) La notion d'infini en maths est très ancienne bien avant les grecs même. Il y a un nombre infini de nombres (entiers) car on peut toujours ajouter 1 au dernier s'il y en avait un. Il y a d'ailleurs autant de nombres entiers pairs que de nombres entiers en tout, même si ça parait bizarre : deux fois l'infini c'est toujours l'infini (le même). Il y a autant de points sur la surface d'une balle de ping-pong que sur la surface de la Terre. Il a quand même fallu attendre le XIX° siècle pour que Cantor étudie précisément cette notion d'infini. En décidant d'appeler "Aleph 0" le nombre de nombres entiers, ou le cardinal de l'ensemble des nombres entiers, Cantor donne à ce cardinal un nom symbolique, celui de la première lettre de l'alphabet hébreu.
5) A partir de là les mathématiciens partent en chasse de l'infini. Deux fois l'infini c'est le même infini. Cela devient plus compliqué quand on doit admettre qu'il y a autant de fractions que de nombres entiers (pourtant il y en a plus !!! Non, non, il y en a autant !!!). Cela devient migraineux quand Cantor démontre qu'il y a par contre plus de nombres réels que de nombres entiers, c'est à dire qu'on ne peut trouver de relation (bijective pour les matheux) entre les entiers et les réels. La preuve par la diagonale en est très élégante, comme souvent en maths. On peut le démontrer facilement à un élève de sixième, comme le fait que la racine carrée de 2 n'est pas une fraction. (Vous me copierez 100 fois l'exercice, non mais !)
6) Il y a donc des familles de nombres infinis, les nombres transfinis. Il y a des définitions différentes et en fait des objectifs différents. Russell ou Bourbaki-Tome I ont sué sur ces questions, non dénuées d'application, notamment en Physique. N'est-ce point Einstein qui disait que l'Univers était fini mais illimité ? Cet article de Wikipedia n'est pas très clair mais si vous avez une ou deux aspirines sous la main, vous pouvez essayer de le lire.
7) En physique, justement et en cosmologie en particulier, un site intéressant ici, très accessible, malgré le (ou grâce au) fait que son auteur soit professeur au Collège de France. Pour lui l'infini n'existe pas, en physique et dans le monde réel. L'infini est le domaine d'autre chose, et également le domaine de tous les excès puisque, depuis Zénon et les théologistes on sait que les raisonnements basés sur l'infini entraînent des conclusions absurdes.
8) Il n'empêche que l'infini est beau et séduisant. Il y a plus de points dans l'épaisseur d'un ongle de bébé que d'étoiles dans le ciel. Et seul Buzz l'éclair peut vouloir aller vers l'infini et au-delà...
9) L'infini est partout autour de nous.
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